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開成教育グループ


2018 年 3 月 13 日 のアーカイブ

数学と科学・技術 その18

2018 年 3 月 13 日 火曜日

みなさん、こんにちは。みなさんは、「アキレスと亀」の話は聞いたことがあるでしょうか?高校の授業で習ったことのある人もいると思いますが、昔のギリシャの哲学者が考えた次のような主張(パラドックス)です。

どんなに足の速いアキレス(アキレス腱の由来です)であっても、その前を歩く亀には追い付くことができない。

そんなバカな、と思うでしょうが、次のような理屈で論じました。

アキレスは確かに足が速い。しかし、どんなに速かろうが、その直前に亀がいたところまで走っていくには、いくばくかの時間が必要であろう。そうすると、その時間の間に亀は少し前へ進む。となると、アキレスが亀に追いつくには、その少し前の亀がいる地点にまで走っていかないといけない。そして、それにもいくらかの時間が必要であろう。その時間の間に、亀はまた前へ進んでしまう。するとまた、アキレスはその亀がいる地点にまで行かねばならない。これにもまた、時間がかかる・・・。こうして、いつまでたっても、アキレスは亀に追いつくことができない。

みなさんは、この論法をどのように感じるでしょうか?実は、数学を使うと、おかしな点がどこなのかがわかるのです。少しやってみましょう。話を具体的にするために、最初、アキレスと亀の間の距離は 10 m としてみます。また、アキレスが走る速さは、10m/sとします。10m/sは10秒で100m走れる速さですから、かなり足が速いですね。亀の速さは、簡単のため1m/sとします。1秒間で1mですと、1分で60m、1時間で3600m、つまり、3.6kmです。人間の歩く速さは時速4kmといわれているので、かなり足の速い亀ですが、後の計算のため、この速さで考えさせてください。では、ギリシャの哲学者の主張に従って、時間を計算していきましょう。
1. 最初に亀がいる10m先まで走っていく時間は、アキレスが10m/sですから、1秒です。
2. すると、1秒間に亀は、1m/sで歩きますから、アキレスの前方1m先にいます。
3. では、その1m先にアキレスが到達するには、今回は、0.1秒で済みます。というわけで、ここまでの経過時間は1.1秒ですね。
4. ところで、この0.1秒の間に亀は0.1m先に進みます。
5. こんどはわずか0.1m先に亀がいるわけですから、アキレスがその場所に到達するには、0.01秒で済みます。トータルの時間は、1.1秒に0.01秒を足して1.11秒です。
6. 次は、亀は0.01m先にいますから、アキレスがそこに到達するのは、0.001秒、合計時間1.111秒になります。
ここまで来ると、何が起こっているか想像できるでしょうか?1秒→1.1秒→1.11秒→1.111秒と話しが続いてきましたから、「あ、これは、1.1111・・・秒になりそうだな」とわかると思います。ギリシャの哲学者の論法は、有限の時間を、無限に区切ってしまったため、つい無限の時間がかかると感じてしまっていたのですね。ところでこの問題は中学の数学を使えば次のように解けます。アキレスが亀に追いつく時間を t 秒とすると

となって、先ほどの予想と同じになることが分かります。小学生の算数では、次のように考えるでしょうか?「アキレスと亀では、速さの差が9m/sなので、1秒間で9m差を詰めることができる。すると、10mの差をつめるには、10÷9の時間がかかる」。いずれにしても同じ答えが得られます。実は高校の数学Ⅲでは、次のような極限という考え方をします。

は、初項a=1、公比r=0.1の等比数列の和の公式

で n を無限大に飛ばすと解釈でき、r=0.1 なのでその値は収束して、1÷0.9 となる。数Ⅲを習っていないと何を言っているかわからないかもしれませんが、上の式で r の n乗のところを無視してa=1、r=0.1 を代入すると、計算結果がわかると思います。
こうして、かつてのギリシャの哲学者を悩ませた主張も、現代に生きる皆さんにとっては、小学生でも、中学生でも、高校生でも、それぞれ違う考え方で正しく考えることがわかりました。勉強の良さ、というのはこういうところにあらわれます。かつては多くの人を悩ませた問題も、それを解決し乗り越えてきた人類の遺産を受け継ぐことで、知らぬうちに解ける種類の問題に変わってしまっている、ということです。普段、さまざまなものに囲まれていると、なかなか気づかないことが多いと思います。特に、科学や技術の産物は、あまり意識せずとも使えるようになっていますので、その大事さというのはわかりづらいと思います。しかし、勉強することによってしかそのことに気づくこともできませんし、また、それを発展継承していくこともできません。若いうちに、しっかりと実力を養ってください。

開成ハイスクール数学科 村上 豊